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그래서 우리는 집합을 두 부류로 구별해 볼 수 있는데, 하나는 그 자신을 구성원으로 하는 집합이요, 다른 하나는 그 자신이 구성원이 되지 않는 집합이다. . 하지만 모든 집합들의 집합의 경우는 어떤가 그러한 집합의 구성원들은 그 자체로 집합들이다. S를 그들 자신이 원소가 아닌 모든 집합의 집합이라 定義(정이)하자. 이때 S는 그 자신의 원소일까 만일 S가 S의 원소라 한다면, S의 定義(정이)에 의해서, S는 S의 원소가 아닐것이다. . 그러나 만일 S가 S의 원소가 아니라면, (다시, S의 定義(정이)에 의해서) S는 S의 원소이다. 러셀은 이렇게 수를 논리적인 concept(개념)에서 이끌어 내는 과정에서 모순에 도달하게 된다 집합은 그 자신이 다른 집합의 구성원이 될 수 있었다. 좀더 정확하게 말하면, 그는 수를 집합의 집합으로 보았다. 그렇다면 하나의 집합은 그 자신의 구성원이 될 수 있을까 중학생들의 집합은 중학생들을 구성원으로 하겠지만, 그 집합 자체는 중학생이 아닐것이다.
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http://user.chollian.net/~bypark/bertrand.html
『수학원리』의 목적은 모든 순수 수학은 순전히 논리적 전제들로부터 도출해 낼 수 있으며 오로지 논리적인 언어만을 가지고 定義(정이)할 수 있는 concept(개념)만을 사용한다는 것을 보이려는 것이다. 아마도 이 과정에서 가장 중요한 사건의 하나는 이른바 `러셀의 패러독스`(Russell`s Paradox)라고 하는 역리를 발견한 것일텐데, 러셀이 1901년 이 역리를 발견했을 때 화이트헤드는 더 이상 자신감 넘치는 아침을 기뻐하지 말라고 했다고 한다.

러셀은 처음에 자신의 추론과정에…(투비컨티뉴드 )





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다. 그는 집합 concept(개념)을 통해서 수를 定義(정이)함으로써 그것이 가능하다고 보았다. 바로 이것이 러셀의 역리이다.

러셀은 수학이 순수하게 논리적인 것에 기초한다는 것을 보이기 위해서 수 concept(개념)을 논리학에 속하는 concept(개념)들로부터 도출해내려고 시도했다. 이를테면, 2라는 수는 한 쌍들의 집합으로 定義(정이)할 수 있다 2는 구성원이 두 개로 이루어지는 모든 집합의 집합으로 定義(정이)될 수 있다는 것이다.

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